统计学入门（6） - Z-score

引言

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Z-score起源于19世纪后期，基于标准正态分布（高斯分布）理论。这一概念建立在标准差的基础上，用于衡量数据点相对于平均值的偏离程度。通过将数据点的偏离转换为标准差单位，便可以使用Z-score比较不同数据集中的数据。在人文科学的研究中，Z-score应用广泛，下面我们来看下Z-score的历史及其具体的应用场景。

Z-score的历史

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Z-score（标准分数）的产生主要基于统计学中对数据标准化的需求，以及对数据点相对于其所在数据集平均值的偏离程度进行量化的需求。在统计分析、数据处理和研究中，经常需要比较来自不同样本或数据集的观测值。由于这些数据集可能有不同的均值（平均值）和标准差（数据分布的离散程度），直接比较原始分数可能会产生误导。通过将数据点转换为一个相对于数据集均值的标准差单位数，Z-score提供了一种标准化的比较方法，使研究人员可以公平比较不同数据集之间的观测值。

Z-score的概念是在标准正态分布（Standard Normal Distribution）的框架内发展起来的。标准正态分布是一种特定的概率分布，其形状为对称的钟形曲线，由两个参数——均值（μ）和标准差（σ）——完全确定。在标准正态分布中，均值为0，标准差为1。将原始数据转换为Z-score实际上是将其转换为一种形式，参照了标准正态分布，从而便于分析和解释。

Z-score的概念与几位统计学和数学家的工作密切相关，其中包括卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）。

• 卡尔·弗里德里希·高斯对正态分布的研究奠定了后来Z-score理论的基础。虽然他没有直接提出Z-score，但他对误差分布的研究和正态分布的形式化对后来的统计方法产生了深远影响。

• 卡尔·皮尔逊是现代统计学的奠基人之一，他对数据的分布、变异性的度量以及相关性的分析做出了重要贡献。虽然皮尔逊也没有直接“提出”Z-score，但他的工作为Z-score的发展提供了理论和方法论基础。

计算方法

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计算Z-score的过程实际上是将原始数据标准化的过程，使得得到的分数反映了原始数据点距离平均值的相对位置，并以标准差为单位衡量。这种转换后的分数使不同数据集或不同测量尺度上的数据可以直接进行比较。

Z-score的计算公式为：

其中：

Z 是Z-score。

X 是观察值。

μ 是数据集的均值（平均值）。

σ 是数据集的标准差。

计算方法如下：

1. 计算均值（μ）：首先计算出数据集的平均值，即所有数据点的总和除以数据点的数量。

2. 计算标准差（σ）：然后，计算数据集的标准差，这是衡量数据点分布离散程度的一个指标。标准差是各数据点与平均值差值的平方和的平均值的平方根。

3. 计算Z-score：对于数据集中的每个数据点，用该点的值减去数据集的均值，然后将结果除以数据集的标准差。这个过程求出了每个数据点的Z-score，反映了该点以标准差为单位与数据集平均值的相对距离。

Z-score的解读

• Z-score = 0：如果Z-score为0，表示观察值等于平均值。

• Z-score > 0：如果Z-score大于0，表示观察值高于平均值。

• Z-score < 0：如果Z-score小于0，表示观察值低于平均值。

• 绝对值大小：Z-score的绝对值越大，表示观察值距离平均值越远。例如，如果Z-score的绝对值大于2，通常认为其显著偏离平均值。

应用

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假设两个不同学校的学生，学生C和学生D的课程成绩相同，都得了85分。学校1（学生C所在）的平均成绩为90分，标准差为10分。学校2（学生D所在）的平均成绩为70分，标准差为5分。

通过计算这两个学生的Z-score，我们可以比较他们的成绩在各自学校中的表现。结果显示，学生C的Z-score约为-0.5，这意味着他的成绩低于其所在学校的平均成绩，差距大约是半个标准差。学生D的Z-score为3.0，表明他的成绩高于其所在学校的平均成绩，差距是3个标准差。

虽然学生C和学生D的原始成绩相同，但通过Z-score，我们可以看出学生D的成绩在其所在学校中更为突出。相对于其学校平均成绩和标准差，学生D的成绩位置更高。这说明，即使原始成绩相同，Z-score也能帮助我们更加准确地评价学生的表现。

与Z-test的关系

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Z-test是一种统计检验，用于确定两个样本均值之间的差异是否在统计学上显著，检验时假设样本分布接近正态分布，且已知总体标准差。Z-test通过计算Z-score来实现，该Z-score表示观察到的差异与零假设下的预期差异之间的距离。

举个例子，我们可以使用Z-test来检验一个样本均值是否与已知的总体均值有显著差异。具体参数如下：

总体平均值（μ) = 100

总体标准差（σ) = 15

样本平均值（ˉxˉ) = 108

样本大小（n) = 30

通过计算后得知，样本的平均Z-score约为2.92，对应的p-value约为0.0035，这表明样本均值比总体平均值高，且差异在统计上显著。因为p值小于常用的显著性水平（0.05），我们有足够的证据拒绝零假设，认为样本均值与总体均值存在显著差异。

结语

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本文讨论了Z-score的历史、计算方法及其在实际情境中的应用，并阐述了Z-score与Z-test之间的关系和使用场景。无论是在学术研究、业务分析还是日常决策中，掌握Z-score的知识都非常重要。后续我们会介绍更多的统计学知识，敬请关注！

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参考文献

WikiPedia. Standard score. https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

AESL. What are z score table? Definition, Types and Importance - maths. https://www.aakash.ac.in/important-concepts/maths/z-score-table.

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